jueves, 5 de julio de 2012

Lógica En El Siglo XXI

La lógica, una venerable disciplina con larga tradición, ha presenciado durante el siglo XX su periodo de mayor desarrollo y diversificación. La lógica moderna, a la luz de su crecimiento exponencial, se ha convertido en una gran ciencia. La presente contribución sintetiza esta expansión contemplada desde un punto de vista histórico y filosófico, distinguiendo tres grandes aspectos: (1) el mayor evento de la lógica del siglo XX su establecimiento como una nueva disciplina científica ; este largo proceso involucra dos movimientos interrelacionados de (2) un tipo de sístole, que prevalece a medida que avanza la primera mitad del siglo, hacia una lógica estándar, y (3) diástole, que se desarrolla durante la segunda mitad del siglo, hacia las lógicas alternativas. Concluyo considerando en este contexto algunas cuestiones sobre los sistemas y el concepto de consecuencia lógica.



Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales. Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios. Por ejemplo, en la oración "es necesario que 2+2=4", la expresión "es necesario que" es un operador modal que califica de necesaria a la verdad del juicio "2+2=4".
En un sentido más restringido, sin embargo, se llama lógica modal al sistema formal que se ocupa de las expresiones "es necesario que" y "es posible que". Este artículo trata exclusivamente sobre este sistema formal. Otros sistemas de lógica modal conocidos son la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica doxástica.

Tablas De Verdad

TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.


P


Ø P


1


0


0


1


Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.


P


Q


P Ú Q


1


1


1


1


0


1


0


1


1


0


0


0


Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.


P


Q


Ù Q


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


0


0


Condicional:  El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.


P


Q


P®Q


1


1


1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.


P


Q


P« Q


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


0


1


Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.

Ejercicios 1.3

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?
  • P Ù Q           R ® P                   S ®Ø P
  • R Ú P       P ® Q             R® (S® P)
  • Ù P       P ® P Ú S        P Ú S ® (Q Ù Ø P)
  • S ÚØ P       Ø P ® Q Ù R     Q Ù Ø P ® R Ù Q
2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?
  • Si P es falsa.
  • Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.
3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces:
  • Si R Ú P ® Q Ù P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?.
  • Si Q Þ Q Ù P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?.
  • Si R Ù P Þ Ù P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
  • Si (Q Ú R) ® (P Ù Q) Ú R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
  • Si (P Þ Q) Þ ( R Ú P Þ R Ú Q) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?
4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías:
  • Ù ® Ù R                  (P ® Q ) ® Ø ® P )
  • ® Ù Q                       (P « Q) Ù (P Ù Ø Q)
  • Ù Ø (Q Ú P)                    P Ù Ø ((P Ú Q) Ú R)
  • (P ® (Q Ú Ø P)) ® Ø Q       P Ú (Ø Ú R)

Diagramas De Venn


Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.
De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un estudiante al estudiar esta teoría, pues se empieza sin ninguna definición válida. El concepto de conjunto se acepta sin definición.
La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría de Conjuntos es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante ya que influirá en otras teorías matemáticas. Pues bien, los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.
Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la  unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.  
Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.
Diagrama de la intersección de dos conjuntos.
En teoría la intersección  de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares) . Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.
La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.
En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común)
En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø.
Diagrama  de la unión de dos conjuntos.
En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.
La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.
Diagrama del complementario de un conjunto.
En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama.El conjunto U es el universal(parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de  un conjunto se representa Ac.
Diagrama de la diferencia de conjuntos.
La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.

Diagrama de la inclusión de conjuntos.
En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BÌA.
Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.

Diagrama De Flujo


Diagramas de flujo
Un diagrama de flujo es una representación gráfica de un algoritmo o de una parte del mismo. Los diagramas de flujo ayudan en la comprensión de la operación de las estructuras de control (Si, Mientras).
La ventaja de utilizar un algoritmo es que se lo puede construir independiente mente de un lenguaje de programación, pues al momento de llevarlo a código se lo puede hacer en cualquier lenguaje.
Dichos diagramas se construyen utilizando ciertos símbolos de uso especial como son rectángulos, diamantes, óvalos, y pequeños círculos, estos símbolos están conectados entre sí por flechas, conocidas como líneas de flujo. A continuación se detallarán estos símbolos.
Nombre
Símbolo
Función
Terminal
'Diagrama de flujo'
Representa el inicio y fin de un programa. También puede representar una parada o interrupción programada que sea necesaria realizar en un programa.
Entrada / salida
'Diagrama de flujo'
Cualquier tipo de introducción de datos en la memoria desde los periféricos o registro de información procesada en un periférico.
Proceso
'Diagrama de flujo'
Cualquier tipo de operación que pueda originar cambio de valor, formato o posición de la información almacenada en memoria, operaciones aritméticas, de transformaciones, etc.
Decisión
'Diagrama de flujo'
Indica operaciones lógicas o de comparación entre datos (normalmente dos) y en función del resultado de la misma determina (normalmente si y no) cual de los distintos caminos alternativos del programa se debe seguir
Conector Misma Página
'Diagrama de flujo'
Sirve para enlazar dos partes cualesquiera de un diagrama a través de un conector en la salida y otro conector en la entrada. Se refiere a la conexión en la misma pagina del diagrama
Indicador de dirección o línea de flujo
'Diagrama de flujo'
Indica el sentido de la ejecución de las operaciones
Salida
'Diagrama de flujo'
Se utiliza en ocasiones en lugar del símbolo de salida. El dibujo representa un pedazo de hoja. Es usado para mostrar datos o resultados.

Proposiciones



Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verda.

a)proposiciones simples:Es una oración bimembre solo puede tenersujeto o predicado .
EJM:Marta cosina sabroso.

b)proposiciones compuestas:Es la unión de dos o mas proposiciones simples .

EJM:La señora y su hija van al mercado pero se olvidaron su bolso entonces yuvieron que comprar otro.

                                   CONECTIVOS LÓGICOS

-Son símbolos opalabras que sirven de enlace para la unión de proposiciones simples, y entre ellas tenemos:


Negación
Conjunción
Disyunción
Implicación
Si y solo Si.


1)Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
                            Se escribe p 
Ù q, y se lee "p y q".
 
 
p
q
Ù q
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
f
f
       2) Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p 
Ú q, y se lee "p o q".
 
 
p
q
Ú q
v
v
v
v
f
v
f
v
v
f
f
f
        3)Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p 
Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
 
 
p
q
Ú q
v
v
v
v
f
v
f
v
v
f
f
f
       4) Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
                        condición necesaria q es falsa. Se escribe p 
Þ q, y se lee "si p entonces q".
 
 
p
q
Þ q
v
v
v
v
f
f
f
v
v
f
f
v
        Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p 
Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
 
 
p
q
Û q
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
f
v